Doğal Sayılarla İşlemler
Sayma sistemlerinin MÖ 2000’li yıllarda kullanılmaya başlandığı bilinmektedir.Bilinen en eski sayma sistemlerinden biri eski Mısırlılara aittir. Mısırlılar yaklaşık 5300 yıl önce, milyona kadar olan sayıları kapsayan bir sayma sistemi geliştirmişlerdir.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... sayılarına doğal sayılar, bu sayıların oluflturduğu kümeye de doğal sayılar kümesi denir.
Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
S = {1, 2, 3, 4, 5, ...} kümesine sayma sayıları kümesi denir.
DEĞİŞME VE BİRLEŞME ÖZELLİKLERİ
Doğal sayılarda toplama işlemi yaparken toplanan sayıların yerleri değiştiğinde işlemin sonucu değişmez. Toplama işleminin bu özelliğine değişme özelliği denir.
(a ve b iki doğal sayı olmak üzere a + b = b + a’dır.)
Örneğin: 750 + 250 = 1000 250 + 750 = 1000
***
(a ve b iki doğal sayı olmak üzere a + b = b + a’dır.)
Örneğin: 750 + 250 = 1000 250 + 750 = 1000
***
Doğal sayılarda çarpma işlemi yaparken çarpanların yerleri değiştirildiğinde işlemin sonucu değişmez.
a ve b iki doğal sayı olmak üzere a.b = b.a olur. Çarpma işleminin bu özelliğinedeğişme özelliği denir.
Örneğin: 6.9 = 54 9.6 = 54
a ve b iki doğal sayı olmak üzere a.b = b.a olur. Çarpma işleminin bu özelliğinedeğişme özelliği denir.
Örneğin: 6.9 = 54 9.6 = 54
***
Doğal sayılar kümesinde 0’a, toplama işlemine göre etkisiz eleman denir.
a bir doğal sayı olmak üzere; a + 0 = 0 + a = a olur.
Örneğin: 5 + 0 = 5
Örneğin: (250 + 2500) + 3000 = 2750 + 3000 = 5750
Örneğin: (4.2).3 = 8.3 = 24
(3.2).4 = 6.4 = 24
Bu özelliğe çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği denir.
Örneğin: 5.(16 + 9) = (5.16) + (5.9) = 80 + 45 = 125
Bu özelliğe çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği denir.
Örneğin: 5.(16 - 9) = (5.16) - (5.9) = 80 - 45 = 35
***
2. Parantez içindeki işlemler,
3. Çarpma veya bölme işlemleri,
4. Toplama veya çıkarma işlemleri.
Aynı önceliklere sahip işlemlerin sırası soldan sağa doğru belirlenir.
ÖRNEK:
10 - 54 : 33 + 5 . 24 işlemini yapalım.
ÇÖZÜM:
10 - 54 : 33 + 5 . 24
Doğal sayılar kümesinde 0’a, toplama işlemine göre etkisiz eleman denir.
a bir doğal sayı olmak üzere; a + 0 = 0 + a = a olur.
Örneğin: 5 + 0 = 5
***
Doğal sayılar kümesinde 1’e çarpma işlemine göre etkisiz eleman denir.
Doğal sayılar kümesinde 0’a çarpma işleminine göre yutan eleman denir.
a bir doğal sayı olmak üzere; a.1 = 1.a = a ve a.0 = 0.a = 0 olur.
Örneğin: 12.1 = 1.12 = 12
13.0 = 0.13 = 0
Toplama işleminin bu özelliğine birleşme özellği denir.
Doğal sayılar kümesinde 1’e çarpma işlemine göre etkisiz eleman denir.
Doğal sayılar kümesinde 0’a çarpma işleminine göre yutan eleman denir.
a bir doğal sayı olmak üzere; a.1 = 1.a = a ve a.0 = 0.a = 0 olur.
Örneğin: 12.1 = 1.12 = 12
13.0 = 0.13 = 0
***
a, b ve c üç doğal sayı olmak üzere (a+b) + c = a + (b+c)’dir.
a, b ve c üç doğal sayı olmak üzere (a+b) + c = a + (b+c)’dir.
Toplama işleminin bu özelliğine birleşme özellği denir.
Örneğin: (250 + 2500) + 3000 = 2750 + 3000 = 5750
250 + (2500 + 3000) = 250 + 5500 = 5750
Bir toplama işleminde sağdan sola veya soldan sağa doğru işlem yapıldığında sonuçlar değişmez.
Çarpma işleminin bu özelliğine birleşme özelliği denir.
***
a, b ve c üç doğal sayı olmak üzere (a.b).c = a.(b.c)’dir.
a, b ve c üç doğal sayı olmak üzere (a.b).c = a.(b.c)’dir.
Çarpma işleminin bu özelliğine birleşme özelliği denir.
Örneğin: (4.2).3 = 8.3 = 24
(3.2).4 = 6.4 = 24
***
a, b ve c doğal sayılar olmak üzere a.(b + c) = (a.b) + (a.c) olur.
a, b ve c doğal sayılar olmak üzere a.(b + c) = (a.b) + (a.c) olur.
Bu özelliğe çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği denir.
Örneğin: 5.(16 + 9) = (5.16) + (5.9) = 80 + 45 = 125
***
a, b ve c doğal sayılar olmak üzere a.(b - c) = (a.b) - (a.c) olur.
a, b ve c doğal sayılar olmak üzere a.(b - c) = (a.b) - (a.c) olur.
Bu özelliğe çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği denir.
Örneğin: 5.(16 - 9) = (5.16) - (5.9) = 80 - 45 = 35
***
İŞLEM SIRASI
Birden fazla işlem olduğu durumlarda aşağıda verilen sıraya göre işlem yapılır:
Birden fazla işlem olduğu durumlarda aşağıda verilen sıraya göre işlem yapılır:
1. Üslü sayılar,
2. Parantez içindeki işlemler,
3. Çarpma veya bölme işlemleri,
4. Toplama veya çıkarma işlemleri.
Aynı önceliklere sahip işlemlerin sırası soldan sağa doğru belirlenir.
ÖRNEK:
10 - 54 : 33 + 5 . 24 işlemini yapalım.
ÇÖZÜM:
10 - 54 : 33 + 5 . 24
Önce üslü sayılarla işlemler yapılır.
33 = 3.3.3 = 27
24 = 2.2.2.2 = 16
33 yerine 27
24 yerine 16 yazılır.
= 10 - 54 : 27 + 5.16
Parantezin olmadığı dört işlemin bulunduğu durumlarda önce çarpma ve bölme işlemleri yapılır.
54 ün içinde 27, 2 tane vardır. 54 : 27 yerine 2 yazılır.
5 ile 16 çarpılırsa 80 yapar. 5.16 yerine 80 yazılır.
= 10 - 2 + 80
33 = 3.3.3 = 27
24 = 2.2.2.2 = 16
33 yerine 27
24 yerine 16 yazılır.
= 10 - 54 : 27 + 5.16
Parantezin olmadığı dört işlemin bulunduğu durumlarda önce çarpma ve bölme işlemleri yapılır.
54 ün içinde 27, 2 tane vardır. 54 : 27 yerine 2 yazılır.
5 ile 16 çarpılırsa 80 yapar. 5.16 yerine 80 yazılır.
= 10 - 2 + 80
Toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılış sırası soldan sağa doğru belirlenir.
= 8 + 80
= 88
= 8 + 80
= 88